この問題は、以下の6つの問題を解くものです。 1. 1次合同式 $5x \equiv 13 \pmod{37}$ を解く。

はい、承知しました。以下の問題について解答します。

1. 問題の内容

この問題は、以下の6つの問題を解くものです。

1. 1次合同式 $5x \equiv 13 \pmod{37}$ を解く。

2. 不定方程式 $9x + 13y = 1$ の整数解を一つ求める。

3. 7を法として3の逆元を求める。

4. 11を法として7の逆元を求める。

5. 31を法として7の逆元を求める。

6. 41を法として9の逆元を求める。

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

1. $5x \equiv 13 \pmod{37}$

まず、5の法37における逆元を求めます。

$37 = 5 \times 7 + 2$

$5 = 2 \times 2 + 1$

よって、

$1 = 5 - 2 \times 2 = 5 - 2 \times (37 - 5 \times 7) = 5 - 2 \times 37 + 14 \times 5 = 15 \times 5 - 2 \times 37$

したがって、$15 \times 5 \equiv 1 \pmod{37}$ となり、5の逆元は15です。

$5x \equiv 13 \pmod{37}$ の両辺に15をかけると、

$15 \times 5x \equiv 15 \times 13 \pmod{37}$

$x \equiv 195 \pmod{37}$

$195 = 37 \times 5 + 10$

$x \equiv 10 \pmod{37}$

2. $9x + 13y = 1$

ユークリッドの互除法を用いて整数解を求めます。

$13 = 9 \times 1 + 4$

$9 = 4 \times 2 + 1$

よって、

$1 = 9 - 4 \times 2 = 9 - (13 - 9 \times 1) \times 2 = 9 - 2 \times 13 + 2 \times 9 = 3 \times 9 - 2 \times 13$

したがって、$9(3) + 13(-2) = 1$ より、$(x, y) = (3, -2)$

3. 7を法として3の逆元

3に掛けて7を法として1になる数を探します。

$3 \times 1 \equiv 3 \pmod{7}$

$3 \times 2 \equiv 6 \pmod{7}$

$3 \times 3 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$

$3 \times 4 \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7}$

$3 \times 5 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}$

よって、3の逆元は5です。

4. 11を法として7の逆元

7に掛けて11を法として1になる数を探します。

$7 \times 1 \equiv 7 \pmod{11}$

$7 \times 2 \equiv 14 \equiv 3 \pmod{11}$

$7 \times 3 \equiv 21 \equiv 10 \pmod{11}$

$7 \times 4 \equiv 28 \equiv 6 \pmod{11}$

$7 \times 5 \equiv 35 \equiv 2 \pmod{11}$

$7 \times 6 \equiv 42 \equiv 9 \pmod{11}$

$7 \times 7 \equiv 49 \equiv 5 \pmod{11}$

$7 \times 8 \equiv 56 \equiv 1 \pmod{11}$

よって、7の逆元は8です。

5. 31を法として7の逆元

まず31を7で割った余りを求めます。

$31 = 7 \times 4 + 3$

よって、$31 \equiv 3 \pmod{7}$なので、7を法として3の逆元を求めれば良いです。

これは問題3で計算した通り、5です。

6. 41を法として9の逆元

まず41を9で割った余りを求めます。

$41 = 9 \times 4 + 5$

よって、$41 \equiv 5 \pmod{9}$なので、9を法として5の逆元を求めれば良いです。

$5 \times 1 \equiv 5 \pmod{9}$

$5 \times 2 \equiv 10 \equiv 1 \pmod{9}$

よって、5の逆元は2です。

3. 最終的な答え

1. $x \equiv 10 \pmod{37}$

2. $(x, y) = (3, -2)$

3. 5

4. 8

5. 5

6. 2