与えられた置換 $p$ を互換の積で表し、その符号 $\text{sgn}(p)$ を求めます。置換は以下の4つです。 (1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ (3) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ (4) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \dots & n & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換 $p$ を互換の積で表し、その符号 $\text{sgn}(p)$ を求めます。置換は以下の4つです。

(1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(4) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \dots & n & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

* サイクル分解： $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ なので、$p = (1\ 3\ 2\ 4)$

* 互換の積：$(1\ 3\ 2\ 4) = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 3)$

* 符号：互換の数が3なので、$\text{sgn}(p) = (-1)^3 = -1$

(2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

* サイクル分解：$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$と$3 \rightarrow 5 \rightarrow 3$なので、$p = (1\ 2\ 4)(3\ 5)$

* 互換の積：$(1\ 2\ 4) = (1\ 4)(1\ 2)$、$(3\ 5)$は互換なのでそのまま。よって、$p = (1\ 4)(1\ 2)(3\ 5)$

* 符号：互換の数が3なので、$\text{sgn}(p) = (-1)^3 = -1$

(3) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

* サイクル分解：$1 \rightarrow 4 \rightarrow 1$と$2 \rightarrow 2$と$3 \rightarrow 5 \rightarrow 3$なので、$p = (1\ 4)(3\ 5)$

* 互換の積：すでに互換の積で表されているので、そのまま。$p = (1\ 4)(3\ 5)$

* 符号：互換の数が2なので、$\text{sgn}(p) = (-1)^2 = 1$

(4) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \dots & n & 1 \end{pmatrix}$

* サイクル分解：$1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow \dots \rightarrow n \rightarrow 1$ なので、$p = (1\ 2\ 3\ \dots\ n)$

* 互換の積：$(1\ 2\ 3\ \dots\ n) = (1\ n)(1\ n-1)\dots(1\ 3)(1\ 2)$

* 符号：互換の数が $n-1$ なので、$\text{sgn}(p) = (-1)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) 互換の積: $(1\ 4)(1\ 2)(1\ 3)$, 符号: $-1$

(2) 互換の積: $(1\ 4)(1\ 2)(3\ 5)$, 符号: $-1$

(3) 互換の積: $(1\ 4)(3\ 5)$, 符号: $1$

(4) 互換の積: $(1\ n)(1\ n-1)\dots(1\ 3)(1\ 2)$, 符号: $(-1)^{n-1}$