行列式 $\begin{vmatrix} 1 & a & a^3 \\ 1 & b & b^3 \\ 1 & c & c^3 \end{vmatrix}$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

行列式

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^3 \\ 1 & b & b^3 \\ 1 & c & c^3 \end{vmatrix}$

を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

行列式の性質を利用して、因数分解をしていきます。

まず、第1行を基準にして、第2行、第3行から第1行を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^3 \\ 1 & b & b^3 \\ 1 & c & c^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a & a^3 \\ 0 & b-a & b^3-a^3 \\ 0 & c-a & c^3-a^3 \end{vmatrix}$

次に、行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} b-a & b^3-a^3 \\ c-a & c^3-a^3 \end{vmatrix} = (b-a)(c^3-a^3) - (c-a)(b^3-a^3)$

ここで、$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$の公式を使うと、

$= (b-a)(c-a)(c^2+ca+a^2) - (c-a)(b-a)(b^2+ba+a^2)$

$= (b-a)(c-a)[(c^2+ca+a^2) - (b^2+ba+a^2)]$

$= (b-a)(c-a)[c^2-b^2 + ca-ba]$

$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$

$= (b-a)(c-a)(c-b)[c+b+a]$

$= (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$