与えられた行列式と置換 $p$ に対して、$p$ が定める項の値を求める問題です。 (1) 行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix}$ と置換 $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (2) 行列式 $\begin{vmatrix} -4 & 6 & 5 & 0 \\ 3 & -1 & 9 & 2 \\ 1 & 4 & -3 & 7 \\ 6 & 7 & 4 & -2 \end{vmatrix}$ と置換 $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式と置換 $p$ に対して、$p$ が定める項の値を求める問題です。

(1)

行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix}$ と置換 $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

行列式 $\begin{vmatrix} -4 & 6 & 5 & 0 \\ 3 & -1 & 9 & 2 \\ 1 & 4 & -3 & 7 \\ 6 & 7 & 4 & -2 \end{vmatrix}$ と置換 $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式における置換 $p$ が定める項は、行列の成分を置換に従って選び、それらを掛け合わせたものに置換の符号を掛けたものです。置換の符号は、置換を互換の積で表したときの互換の個数の偶奇によって決定されます。互換の個数が偶数なら符号は $+1$、奇数なら $-1$ です。

(1)

置換 $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ は、第1行の第2列、第2行の第3列、第3行の第1列の成分を選びます。つまり、$2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$ です。

置換 $p$ の符号を求めます。$p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = (1\ 2\ 3) = (1\ 2)(2\ 3)$ なので、2つの互換の積で表されます。よって、置換の符号は $+1$ です。

したがって、置換 $p$ が定める項の値は $24 \times 1 = 24$ です。

(2)

置換 $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ は、第1行の第2列、第2行の第4列、第3行の第1列、第4行の第3列の成分を選びます。つまり、$6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 = 48$ です。

置換 $p$ の符号を求めます。$p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} = (1\ 2\ 4\ 3) = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 3)$ なので、3つの互換の積で表されます。よって、置換の符号は $-1$ です。

したがって、置換 $p$ が定める項の値は $48 \times (-1) = -48$ です。

3. 最終的な答え

(1) 24

(2) -48