複素数 $z$ が $|z|^2 = 3$ かつ $|z - 2| = 4$ を満たすとき、以下の値を求めます。 (1) $z\bar{z}$ (2) $z + \bar{z}$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $|z|^2 = 3$ かつ $|z - 2| = 4$ を満たすとき、以下の値を求めます。

(1) $z\bar{z}$

(2) $z + \bar{z}$

2. 解き方の手順

(1) $z\bar{z}$ を求める。

複素数 $z$ の絶対値の2乗は $z\bar{z}$ に等しいので、与えられた条件 $|z|^2 = 3$ より、

$z\bar{z} = 3$ となります。

(2) $z + \bar{z}$ を求める。

$|z - 2| = 4$ より、

$|z - 2|^2 = 4^2$

$(z - 2)(\bar{z} - 2) = 16$

$z\bar{z} - 2z - 2\bar{z} + 4 = 16$

$z\bar{z} - 2(z + \bar{z}) + 4 = 16$

$z\bar{z} = 3$ を代入して、

$3 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 16$

$7 - 2(z + \bar{z}) = 16$

$-2(z + \bar{z}) = 9$

$z + \bar{z} = -\frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $z\bar{z} = 3$

(2) $z + \bar{z} = -\frac{9}{2}$