複素数 $z$ が、$|z| = 3$ かつ $|z - 2| = 4$ を満たすとき、以下の値を求めます。 (1) $z\bar{z}$ (2) $z + \bar{z}$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が、$|z| = 3$ かつ $|z - 2| = 4$ を満たすとき、以下の値を求めます。

(1) $z\bar{z}$

(2) $z + \bar{z}$

2. 解き方の手順

(1) $z\bar{z}$ について

$|z| = 3$ より、$|z|^2 = 3^2$ です。

また、$z\bar{z} = |z|^2$ が成り立つので、

$z\bar{z} = |z|^2 = 9$

(2) $z + \bar{z}$ について

$|z - 2| = 4$ より、$|z - 2|^2 = 4^2 = 16$ です。

$|z - 2|^2 = (z - 2)(\bar{z} - 2) = z\bar{z} - 2z - 2\bar{z} + 4 = 16$

$z\bar{z} - 2(z + \bar{z}) + 4 = 16$

(1)より、$z\bar{z} = 9$ なので、

$9 - 2(z + \bar{z}) + 4 = 16$

$13 - 2(z + \bar{z}) = 16$

$-2(z + \bar{z}) = 3$

$z + \bar{z} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $z\bar{z} = 9$

(2) $z + \bar{z} = -\frac{3}{2}$