問題は、以下の条件を満たす整数 $x, y, z$ の組の数を求める問題です。 (1) $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ かつ $z \ge 0$ であり、$x + y + z = 6$ を満たす。 (2) $x \ge 1$ かつ $y \ge 1$ かつ $z \ge 1$ であり、$x + y + z = 6$ を満たす。

1. 問題の内容

問題は、以下の条件を満たす整数 $x, y, z$ の組の数を求める問題です。

(1) $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ かつ $z \ge 0$ であり、$x + y + z = 6$ を満たす。

(2) $x \ge 1$ かつ $y \ge 1$ かつ $z \ge 1$ であり、$x + y + z = 6$ を満たす。

2. 解き方の手順

(1) $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ の場合

これは、6個の区別できないボールを3つの区別できる箱に入れる場合の数に相当します。

重複組み合わせの公式を用いて計算します。

重複組み合わせの公式は、異なる $n$ 個のものから重複を許して $r$ 個選ぶ組み合わせの数であり、${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$ で表されます。

この問題では、$n = 3$ (変数 $x, y, z$ の数) であり、$r = 6$ (合計値) です。

したがって、求める組み合わせの数は ${}_{3}H_{6} = {}_{3+6-1}C_{6} = {}_{8}C_{6}$ です。

${}_{8}C_{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(2) $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ の場合

$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x' \ge 0$, $y' \ge 0$, $z' \ge 0$ となります。

$x + y + z = 6$ に代入すると、$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 6$ となり、$x' + y' + z' = 3$ となります。

これは、$x' \ge 0$, $y' \ge 0$, $z' \ge 0$ の条件で $x' + y' + z' = 3$ を満たす整数の組 $(x', y', z')$ の数を求める問題に帰着されます。

重複組み合わせの公式を用いて計算します。

この問題では、$n = 3$ (変数 $x', y', z'$ の数) であり、$r = 3$ (合計値) です。

したがって、求める組み合わせの数は ${}_{3}H_{3} = {}_{3+3-1}C_{3} = {}_{5}C_{3}$ です。

${}_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 10通り