2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ であることから、$a < 0$ であることがわかります。なぜなら、$a > 0$ であれば、解は $x < \alpha$ または $x > \beta$ の形になるはずだからです。

次に、2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ であるということは、$ax^2 + 5x + b = 0$ の解が $x = 2$ と $x = 3$ であることを意味します。したがって、$x = 2$ と $x = 3$ を $ax^2 + 5x + b = 0$ に代入すると、以下の2つの式が得られます。

$4a + 10 + b = 0$

$9a + 15 + b = 0$

これらの式を連立方程式として解きます。上の式から下の式を引くと、

$(9a + 15 + b) - (4a + 10 + b) = 0$

$5a + 5 = 0$

$a = -1$

これを $4a + 10 + b = 0$ に代入すると、

$4(-1) + 10 + b = 0$

$-4 + 10 + b = 0$

$6 + b = 0$

$b = -6$

したがって、$a = -1$ であり、$b = -6$ です。

このとき、与えられた2次不等式は $-x^2 + 5x - 6 > 0$ となります。両辺に-1をかけると、$x^2 - 5x + 6 < 0$ となり、$(x - 2)(x - 3) < 0$ と因数分解できます。この不等式の解は確かに $2 < x < 3$ となるので、求めた $a$ と $b$ の値は正しいことが確認できます。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -6$