$x$, $y$を実数とし、3次元ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 8 \end{pmatrix}$ とする。次の2つの条件を満たす組$(x, y)$をすべて求めよ。 (i) ベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$が生成する平行六面体$K$の体積は1。すなわち、$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = 1$ (ii) ベクトル$\vec{a}$と$\vec{c}$の内積は67。すなわち、$\vec{a} \cdot \vec{c} = 67$

1. 問題の内容

$x$, $y$を実数とし、3次元ベクトル

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 8 \end{pmatrix}$

とする。次の2つの条件を満たす組$(x, y)$をすべて求めよ。

(i) ベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$が生成する平行六面体$K$の体積は1。すなわち、$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = 1$

(ii) ベクトル$\vec{a}$と$\vec{c}$の内積は67。すなわち、$\vec{a} \cdot \vec{c} = 67$

2. 解き方の手順

(i)の条件から$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$を計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\times9 - 5\times7 \\ 5\times2 - 1\times9 \\ 1\times7 - 4\times2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 36-35 \\ 10-9 \\ 7-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

よって、

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 8 \end{pmatrix} = x + y - 8$

条件(i)から、$|x + y - 8| = 1$

したがって、$x + y - 8 = 1$ または $x + y - 8 = -1$

$x + y = 9$ または $x + y = 7$

(ii)の条件から

$\vec{a} \cdot \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 8 \end{pmatrix} = x + 4y + 40 = 67$

したがって、$x + 4y = 27$

$x + y = 9$ のとき、$x = 9 - y$ を $x + 4y = 27$ に代入すると

$9 - y + 4y = 27$

$3y = 18$

$y = 6$

$x = 9 - 6 = 3$

$(x, y) = (3, 6)$

$x + y = 7$ のとき、$x = 7 - y$ を $x + 4y = 27$ に代入すると

$7 - y + 4y = 27$

$3y = 20$

$y = \frac{20}{3}$

$x = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21 - 20}{3} = \frac{1}{3}$

$(x, y) = (\frac{1}{3}, \frac{20}{3})$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (3, 6), (\frac{1}{3}, \frac{20}{3})$