与えられた数列 $1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, \dots$ について、以下の問いに答える。 (1) 自然数 $n$ を用いて、$n^2$ が初めて現れるのは第何項か。 (2) 第100項を求めよ。 (3) 初項から第100項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, \dots$ について、以下の問いに答える。

(1) 自然数 $n$ を用いて、$n^2$ が初めて現れるのは第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

(3) 初項から第100項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列の規則性を見つける。

数列は、$1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, \dots$と続き、これは $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ が繰り返されている。

これは、$1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$ と書ける。

1個、2個、3個、4個、5個…と繰り返す数列である。

$n^2$ が初めて現れるのは、数列の $n$ 番目のグループの最後の項である。

第 $n$ グループまでの項数は、

$1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$となる。

したがって、$n^2$ が初めて現れるのは、第 $\frac{n(n+1)}{2}$ 項である。

(2) 第100項を求める。

数列は、$k$ 番目のグループは $1, 4, 9, \dots, k^2$ の $k$ 個の項からなる。

第 $n$ グループまでの項数は $\frac{n(n+1)}{2}$ である。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 100$ となる最大の $n$ を求める。

$n(n+1) \le 200$

$n^2 + n - 200 \le 0$

$n$ は正の整数なので、$n \approx \sqrt{200} \approx 14.14$

$n=13$ のとき、$\frac{13(13+1)}{2} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 13 \cdot 7 = 91$

$n=14$ のとき、$\frac{14(14+1)}{2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105$

よって、第91項までは第13グループで、第105項までは第14グループである。

したがって、第100項は第14グループに属する。

第14グループの最初の項は1なので、第92項は1である。

第100項は、第14グループの $100 - 91 = 9$ 番目の項である。

第14グループの項は、$1^2, 2^2, 3^2, \dots, 14^2$ の順に並んでいるので、第9番目の項は $9^2=81$ である。

したがって、第100項は81である。

(3) 初項から第100項までの和を求める。

第91項までは、第13グループまでなので、その和は

$\sum_{k=1}^{13} \sum_{i=1}^k i^2 = \sum_{k=1}^{13} \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \sum_{k=1}^{13} \frac{2k^3+3k^2+k}{6} = \frac{1}{6} \left( 2 \sum_{k=1}^{13} k^3 + 3 \sum_{k=1}^{13} k^2 + \sum_{k=1}^{13} k \right)$

$= \frac{1}{6} \left( 2 \left(\frac{13 \cdot 14}{2}\right)^2 + 3 \cdot \frac{13 \cdot 14 \cdot 27}{6} + \frac{13 \cdot 14}{2} \right) = \frac{1}{6} \left( 2 (91)^2 + 3 \cdot 13 \cdot 7 \cdot 9 + 91 \right) = \frac{1}{6} \left( 2 \cdot 8281 + 2457 + 91 \right) = \frac{1}{6} \left( 16562 + 2457 + 91 \right) = \frac{1}{6} (19110) = 3185$

第92項から第100項までの和は、第14グループの最初の9項の和なので

$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2 = \sum_{i=1}^{9} i^2 = \frac{9(9+1)(2\cdot9+1)}{6} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = 3 \cdot 5 \cdot 19 = 15 \cdot 19 = 285$

初項から第100項までの和は、$3185 + 285 = 3470$

3. 最終的な答え

(1) $n^2$ が初めて現れるのは第 $\frac{n(n+1)}{2}$ 項

(2) 第100項は81

(3) 初項から第100項までの和は3470