3辺の長さがすべて70より小さい整数であり、かつそれらの長さが等差数列をなすような三角形の個数を求める問題です。ただし、合同な三角形は区別しません。

1. 問題の内容

3辺の長さがすべて70より小さい整数であり、かつそれらの長さが等差数列をなすような三角形の個数を求める問題です。ただし、合同な三角形は区別しません。

2. 解き方の手順

三角形の3辺の長さを、$a-d, a, a+d$ とします。ただし、$a$ と $d$ は整数で、$a > 0$ かつ $a > d \ge 0$とします。

三角形が成立するための条件（三角不等式）は、

$a-d + a > a+d$

$a-d + a+d > a$

$a + a+d > a-d$

となります。

これらの不等式を解くと、

$2a - d > a+d \implies a > 2d$

$2a > a \implies a > 0$

$2a + d > a - d \implies a > -2d$

となります。

条件より $a > 2d$ なので、$a > 0$ と $a > -2d$ は常に満たされます。

よって、$a > 2d$ が条件になります。

また、$a-d, a, a+d$ はすべて70より小さい必要があります。

$a-d < 70$

$a < 70$

$a+d < 70$

条件 $a > 2d$ より、$a-d > d \ge 0$ ですから、$a+d < 70$ のみが考慮すべき条件となります。

$a < 70$ より、$a$ の最大値は69です。

$a+d < 70$ より、$d < 70-a$

$a > 2d$ より、$d < a/2$

これらの条件をすべて満たすような $a$ と $d$ の組み合わせの数を数えます。

$a$ の値を1から69まで変化させて、$d$ の取り得る範囲を求めます。

$0 \le d < \min(70-a, a/2)$

$d$ は整数なので、$d$ の取り得る個数は $\lfloor \min(70-a, a/2) \rfloor + 1$ 個です。

すべての $a$ に対して、この個数を足し合わせます。

$a/2 < 70-a$ のとき、$a/2 < 70-a \implies 3a/2 < 70 \implies a < 140/3 = 46.666...$

$a \le 46$ のとき、$d$ の個数は $\lfloor a/2 \rfloor + 1$ 個

$a \ge 47$ のとき、$d$ の個数は $\lfloor 70-a \rfloor + 1$ 個

したがって、求める個数は、

$\sum_{a=1}^{46} (\lfloor a/2 \rfloor + 1) + \sum_{a=47}^{69} (\lfloor 70-a \rfloor + 1)$

$= \sum_{a=1}^{46} (\lfloor a/2 \rfloor + 1) + \sum_{k=1}^{23} (\lfloor k \rfloor + 1)$ ($k = 70-a$)

$= \sum_{a=1}^{46} (\lfloor a/2 \rfloor + 1) + \sum_{k=1}^{23} (k + 1)$

$\sum_{a=1}^{46} (\lfloor a/2 \rfloor + 1) = \sum_{a=1}^{46} \lfloor a/2 \rfloor + \sum_{a=1}^{46} 1$

$= (0+1+1+2+2+...+23+23) + 46 = 2(1+2+3+...+22)+23+46$

$= 2 \times \frac{22 \times 23}{2} + 69 = 22 \times 23 + 69 = 506 + 69 = 575$

$\sum_{k=1}^{23} (k+1) = \sum_{k=1}^{23} k + \sum_{k=1}^{23} 1 = \frac{23 \times 24}{2} + 23 = 23 \times 12 + 23 = 23 \times 13 = 299$

よって、575 + 299 = 874

3. 最終的な答え

874