正三角形の頂点に、ある規則に従って碁石を並べる。 (1) n=6のときに必要な碁石の数を求める。 (2) n段置くときに必要な碁石の数を求めるための会話の空欄を埋める。

1. 問題の内容

正三角形の頂点に、ある規則に従って碁石を並べる。

(1) n=6のときに必要な碁石の数を求める。

(2) n段置くときに必要な碁石の数を求めるための会話の空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1) n=6の場合の碁石の数を求める。

規則に従ってn=1, 2, 3, 4, 5, 6の場合に必要な碁石の数を数える。

n=1のとき、1個。

n=2のとき、1+2=3個。

n=3のとき、3+3=6個。

n=4のとき、6+4=10個。

n=5のとき、10+5=15個。

n=6のとき、15+6=21個。

(2) n段置くときに必要な碁石の数を求める。

碁石の数は、1, 3, 6, 10, 15,...と増えていく。これは階差数列である。

階差数列は、2, 3, 4, 5,...となっている。

元の数列のn番目の項をa_nとすると、a_n = a_1 + Σ[k=1 to n-1] (k+1) = 1 + Σ[k=1 to n-1] k + Σ[k=1 to n-1] 1 = 1 + (n-1)n/2 + (n-1) = 1 + (n^2 - n)/2 + n - 1 = (n^2 - n + 2n)/2 = (n^2 + n)/2 = n(n+1)/2

したがって、n段置くときに必要な碁石の数は、n(n+1)/2個である。

①には $n(n+1)/2$ が入る。

美咲さんと隆史さんの会話：

美咲：n段のとき、碁石の数は $n(n+1)/2$ 個ね。

隆史：ということは、$n+1$ 段のとき、碁石の数はどうなるかな？

美咲：えーと、$((n+1)((n+1)+1))/2 = ((n+1)(n+2))/2$ 個ね。

隆史：なるほど。ということは、$(n+1)$段のとき、n段より何個増えるかな？

美咲：$((n+1)(n+2))/2 - (n(n+1))/2 = ((n+1)(n+2-n))/2 = ((n+1)(2))/2 = n+1$ 個増えるね。

隆史：ということは、碁石を並べるとき、n段から (n+1)段にするとき、碁石は何個増える？

美咲：$n+1$個増えるわ。

②には $n+1$ が入る。

③には $n+1$ が入る。

3. 最終的な答え

(1) n=6のとき、21個

(2) ① $n(n+1)/2$

② $n+1$

③ $n+1$