4桁の整数 $N$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ $a, b, c, d$ とするとき、$N$ が $a+c=b+d$ を満たすならば、$N$ は11の倍数となることを説明する問題です。空欄を埋めることで証明を完成させます。

1. 問題の内容

4桁の整数 $N$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ $a, b, c, d$ とするとき、$N$ が $a+c=b+d$ を満たすならば、$N$ は11の倍数となることを説明する問題です。空欄を埋めることで証明を完成させます。

2. 解き方の手順

- $N = 1000a + 100b + 10c + d$ と表せる。

- 問題文にあるように、$N = 1000a + 100b + 10c + d$ を変形していく。

- $N = 10a + 10c + 100b + 1000a + d$ を作り、$N = 10a + 10c + b + d + 990a + 99b$と変形させる。

- $N = 10(a + c) + (b + d) + 99(10a + b)$となる。よって、④には99が入る。

- $a + c = b + d = k$ とおくと、$N = 10k + k + 99(10a+b) = 11k + 99(10a + b)$となる。

- $N = 11k + 99(10a+b) = 11[k + 9(10a + b)]$　と変形できる。よって、⑤には$11[k + 9(10a+b)]$が入る。

- よって、⑤の $11[k + 9(10a+b)]$ は11の倍数である。

3. 最終的な答え

① 1000

② 100

③ 10

④ 99

⑤ $11[k + 9(10a+b)]$

$11[k + 9(10a+b)]$