この問題は、540の正の約数について、以下の3つの問いに答えるものです。 (1) 540の正の約数の個数を求める。 (2) 540の正の約数の総和を求める。 (3) 540の正の約数のうち、偶数であるものの総和を求める。

1. 問題の内容

この問題は、540の正の約数について、以下の3つの問いに答えるものです。

(1) 540の正の約数の個数を求める。

(2) 540の正の約数の総和を求める。

(3) 540の正の約数のうち、偶数であるものの総和を求める。

2. 解き方の手順

まず、540を素因数分解します。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1$

(1) 約数の個数について

約数の個数は、各素因数の指数に1を加えて掛け合わせたものです。

$(2+1) \times (3+1) \times (1+1) = 3 \times 4 \times 2 = 24$

(2) 約数の総和について

約数の総和は、各素因数について $(1 + p^1 + p^2 + \dots + p^n)$ を計算し、それらを掛け合わせたものです。ここで $p$ は素因数、$n$ はその素因数の指数です。

$(1 + 2 + 2^2) \times (1 + 3 + 3^2 + 3^3) \times (1 + 5)$

$(1 + 2 + 4) \times (1 + 3 + 9 + 27) \times (1 + 5)$

$7 \times 40 \times 6 = 1680$

(3) 偶数の約数の総和について

偶数の約数の総和は、$2$ の指数が $1$ 以上のものだけを考慮します。つまり、$2^0$ の項を除外します。

$(2 + 2^2) \times (1 + 3 + 3^2 + 3^3) \times (1 + 5)$

$(2 + 4) \times (1 + 3 + 9 + 27) \times (1 + 5)$

$6 \times 40 \times 6 = 1440$

3. 最終的な答え

(1) 540の正の約数の個数: 24個

(2) 540の正の約数の総和: 1680

(3) 540の正の約数のうち、偶数であるものの総和: 1440