自然数の列を、第 $n$ 群に $(2n-1)$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の項を求める。 (2) 2020が第何群の第何番目の項であるかを求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、第 $n$ 群に $(2n-1)$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の項を求める。

(2) 2020が第何群の第何番目の項であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の項を求める。

第 $n$ 群の最初の項は、第 $(n-1)$ 群までの項数の和に1を加えたものである。

第 $k$ 群の項数は $2k - 1$ なので、第 $(n-1)$ 群までの項数の和は、

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$

したがって、第 $n$ 群の最初の項は $(n-1)^2 + 1 = n^2 - 2n + 1 + 1 = n^2 - 2n + 2$ となる。

(2) 2020が第何群の第何番目の項であるかを求める。

まず、$n^2 - 2n + 2 \le 2020$ を満たす最大の整数 $n$ を求める。

$n^2 - 2n + 2 \le 2020$

$n^2 - 2n - 2018 \le 0$

$n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4(2018)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8076}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2019}}{2} = 1 \pm \sqrt{2019}$

$\sqrt{2019} \approx \sqrt{2025} = 45$ なので、 $n \approx 1 + 45 = 46$

$45^2 - 2(45) + 2 = 2025 - 90 + 2 = 1937$

$46^2 - 2(46) + 2 = 2116 - 92 + 2 = 2026$

したがって、2020は第45群にある。

第45群の最初の項は $45^2 - 2(45) + 2 = 1937$

2020は第45群の $2020 - 1937 + 1 = 84$ 番目の項である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の項：$n^2 - 2n + 2$

(2) 2020は第45群の84番目の項