$k$ を正の実数とし、関数 $f(x) = x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le k$) の最小値を $m(k)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点と軸を求め、$0 \le x \le k$ に軸が含まれるか否かで場合分けして、$m(k)$ を求める。

1. 問題の内容

$k$ を正の実数とし、関数 $f(x) = x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le k$) の最小値を $m(k)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点と軸を求め、$0 \le x \le k$ に軸が含まれるか否かで場合分けして、$m(k)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$

よって、頂点は $(1, -2)$ で、軸は $x = 1$ である。

(i) $0 < k < 1$ のとき

区間 $[0, k]$ において、$f(x)$ は単調減少であるから、$x = k$ で最小値をとる。

$m(k) = f(k) = k^2 - 2k - 1$

(ii) $k \ge 1$ のとき

区間 $[0, k]$ に軸 $x = 1$ が含まれるので、$x = 1$ で最小値をとる。

$m(k) = f(1) = 1^2 - 2(1) - 1 = -2$

3. 最終的な答え

ア: (1, -2)

イ: 1

ウ: 1

エ: 1

オ: -2

カ: -1

キ: 0

ク: 0

ケ: -2