$a>0$, $b>0$, $c>0$ のとき、不等式 $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ が成り立つことを証明し、また等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

$a>0$, $b>0$, $c>0$ のとき、不等式 $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ が成り立つことを証明し、また等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を用いる。

$a > 0, b > 0$ より、相加平均・相乗平均の関係から、

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

$b > 0, c > 0$ より、相加平均・相乗平均の関係から、

$\frac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc}$

$c > 0, a > 0$ より、相加平均・相乗平均の関係から、

$\frac{c+a}{2} \geq \sqrt{ca}$

これらの不等式は全て正の数についてなので、辺々を掛けて、

$\frac{a+b}{2} \cdot \frac{b+c}{2} \cdot \frac{c+a}{2} \geq \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca}$

$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \geq \sqrt{(abc)^2}$

$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \geq abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$

よって、不等式 $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、それぞれの相加平均・相乗平均の関係で等号が成り立つときである。

すなわち、$a=b$、$b=c$、$c=a$ のとき。

したがって、$a=b=c$ のとき等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ は成り立つ。

等号が成り立つのは $a=b=c$ のとき。