関数 $y = -x^2 + 8x + c$ において、$1 \le x \le 5$ の範囲での最小値が -2 であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 8x + c$ において、$1 \le x \le 5$ の範囲での最小値が -2 であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 8x + c = -(x^2 - 8x) + c = -(x^2 - 8x + 16 - 16) + c = -(x - 4)^2 + 16 + c$

したがって、関数の頂点の座標は $(4, 16+c)$ です。

次に、定義域 $1 \le x \le 5$ における関数の最小値を考えます。

放物線 $y = -(x-4)^2 + 16 + c$ は上に凸であるため、軸 $x = 4$ から最も遠い $x$ の値で最小値をとります。$x=1$ と $x=5$ は軸から等距離なので、$x=1$ または $x=5$ のいずれでも最小値をとります。

$x=1$ のとき、$y = -1^2 + 8(1) + c = -1 + 8 + c = 7 + c$

$x=5$ のとき、$y = -5^2 + 8(5) + c = -25 + 40 + c = 15 + c$

与えられた条件より、最小値は-2なので、$x=1$で最小値をとることはありえません。したがって、$x=5$で最小値をとる必要があります。

$7 + c = -2$ ならば、$c=-9$

$15 + c = -2$ ならば、$c=-17$

頂点のx座標は4なので、$x=1$の時のy座標が最小値となり、$7+c=-2$より、$c=-9$となります。

このとき、$y = -(x-4)^2 + 16 - 9 = -(x-4)^2 + 7$

最大値は $x=4$ のとき、$y = 7$ となります。

3. 最終的な答え

$c = -9$

最大値は $7$