与えられた不等式を解く問題です。 不等式は $(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) \geq 18$ です。

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。

不等式は $(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) \geq 18$ です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を展開します。

$(a + \frac{24}{b})(\frac{b}{3} + \frac{2}{a}) = a \cdot \frac{b}{3} + a \cdot \frac{2}{a} + \frac{24}{b} \cdot \frac{b}{3} + \frac{24}{b} \cdot \frac{2}{a}$

$= \frac{ab}{3} + 2 + 8 + \frac{48}{ab}$

$= \frac{ab}{3} + \frac{48}{ab} + 10$

したがって、$\frac{ab}{3} + \frac{48}{ab} + 10 \geq 18$ となります。

$\frac{ab}{3} + \frac{48}{ab} \geq 8$

ここで、相加相乗平均の不等式を利用します。

$x > 0, y > 0$ のとき $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ が成り立ちます。

$\frac{ab}{3} > 0$ かつ $\frac{48}{ab} > 0$ であるので、相加相乗平均の不等式が使えます。

$\frac{\frac{ab}{3} + \frac{48}{ab}}{2} \geq \sqrt{\frac{ab}{3} \cdot \frac{48}{ab}}$

$\frac{\frac{ab}{3} + \frac{48}{ab}}{2} \geq \sqrt{16}$

$\frac{\frac{ab}{3} + \frac{48}{ab}}{2} \geq 4$

$\frac{ab}{3} + \frac{48}{ab} \geq 8$

したがって、与えられた不等式は常に成り立ちます。ただし、等号成立条件は $\frac{ab}{3} = \frac{48}{ab}$ のときです。

$\frac{ab}{3} = \frac{48}{ab}$ を解くと、

$(ab)^2 = 3 \cdot 48 = 144$

$ab = \pm 12$

3. 最終的な答え

$ab = \pm 12$ のとき、不等式は等号で成立し、その他の $a, b$ については不等式が成立する。

言い換えると、 $a, b$ が実数で $ab \ne 0$ のとき、与えられた不等式は常に成立する。