次の和を求めよ。 $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 3)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 3)$

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k + 3) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

次に、それぞれの和の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$

これらの公式を代入すると、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 = 2 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - \frac{1}{2}n(n+1) + 3n$

式を整理します。

$\frac{1}{3}n(n+1)(2n+1) - \frac{1}{2}n(n+1) + 3n = \frac{n}{6}[2(n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 18]$

$= \frac{n}{6}[2(2n^2 + 3n + 1) - 3n - 3 + 18] = \frac{n}{6}[4n^2 + 6n + 2 - 3n - 3 + 18]$

$= \frac{n}{6}[4n^2 + 3n + 17] = \frac{4n^3 + 3n^2 + 17n}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 + 3n^2 + 17n}{6}$