$a = 1$, $b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ のとき、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a = 1$, $b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ のとき、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式に $a = 1$ を代入する。

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = 1^4 - b^4 + 2(1)b^2 - 1^2 = 1 - b^4 + 2b^2 - 1 = -b^4 + 2b^2 = b^2(2 - b^2)$

ここで、$b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ なので、$b^2$ を計算する。

$b^2 = (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2^2} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、$2 - b^2$ を計算する。

$2 - b^2 = 2 - (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、求める値は

$b^2(2 - b^2) = (1 - \frac{\sqrt{3}}{2})(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$