数列 $2, 3, 7, 16, 32, 57, 93, \dots$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $2, 3, 7, 16, 32, 57, 93, \dots$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

階差数列を考える。与えられた数列を $a_n$ とする。

$a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 7, a_4 = 16, a_5 = 32, a_6 = 57, a_7 = 93, \dots$

階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を計算する。

$b_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = 7 - 3 = 4$

$b_3 = 16 - 7 = 9$

$b_4 = 32 - 16 = 16$

$b_5 = 57 - 32 = 25$

$b_6 = 93 - 57 = 36$

よって、階差数列は $1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$ となる。これは $n^2$ であると考えられる。

したがって、$b_n = n^2$ と予想できる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ ($n \ge 2$) であるから、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = 2 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$a_n = 2 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{12 + 2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 12}{6}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 + 12}{6} = \frac{2 - 3 + 1 + 12}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$n=2$ のとき、$a_2 = \frac{2(2)^3 - 3(2)^2 + 2 + 12}{6} = \frac{16 - 12 + 2 + 12}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$n=3$ のとき、$a_3 = \frac{2(3)^3 - 3(3)^2 + 3 + 12}{6} = \frac{54 - 27 + 3 + 12}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$n=4$ のとき、$a_4 = \frac{2(4)^3 - 3(4)^2 + 4 + 12}{6} = \frac{128 - 48 + 4 + 12}{6} = \frac{96}{6} = 16$

$n=5$ のとき、$a_5 = \frac{2(5)^3 - 3(5)^2 + 5 + 12}{6} = \frac{250 - 75 + 5 + 12}{6} = \frac{192}{6} = 32$

$n=6$ のとき、$a_6 = \frac{2(6)^3 - 3(6)^2 + 6 + 12}{6} = \frac{432 - 108 + 6 + 12}{6} = \frac{342}{6} = 57$

$n=7$ のとき、$a_7 = \frac{2(7)^3 - 3(7)^2 + 7 + 12}{6} = \frac{686 - 147 + 7 + 12}{6} = \frac{558}{6} = 93$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 12}{6}$