ベクトル $\vec{p}=(x, y, z)$ が与えられたとき、以下の3つの条件を満たす $x, y, z$ を求める問題です。 * $\vec{a} \perp \vec{p}$ より $x + 2y + 3z = 0$ (1) * $\vec{b} \perp \vec{p}$ より $x - 2y + z = 0$ (2) * $|\vec{p}|^2 = (\sqrt{21})^2$ より $x^2 + y^2 + z^2 = 21$ (3)

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{p}=(x, y, z)$ が与えられたとき、以下の3つの条件を満たす $x, y, z$ を求める問題です。

* $\vec{a} \perp \vec{p}$ より $x + 2y + 3z = 0$ (1)

* $\vec{b} \perp \vec{p}$ より $x - 2y + z = 0$ (2)

* $|\vec{p}|^2 = (\sqrt{21})^2$ より $x^2 + y^2 + z^2 = 21$ (3)

2. 解き方の手順

まず、(1)と(2)の連立方程式を解いて、$x, y, z$ の関係式を求めます。

(1)と(2)の式を加えると、

$2x + 4z = 0$

$x = -2z$

(1)から(2)を引くと、

$4y + 2z = 0$

$y = -\frac{1}{2}z$

これらの関係式を(3)に代入します。

$(-2z)^2 + (-\frac{1}{2}z)^2 + z^2 = 21$

$4z^2 + \frac{1}{4}z^2 + z^2 = 21$

$\frac{16}{4}z^2 + \frac{1}{4}z^2 + \frac{4}{4}z^2 = 21$

$\frac{21}{4}z^2 = 21$

$z^2 = 4$

$z = \pm 2$

$z = 2$ のとき、

$x = -2(2) = -4$

$y = -\frac{1}{2}(2) = -1$

$z = -2$ のとき、

$x = -2(-2) = 4$

$y = -\frac{1}{2}(-2) = 1$

3. 最終的な答え

したがって、求める解は $\vec{p} = (-4, -1, 2)$ または $\vec{p} = (4, 1, -2)$ です。