2つの2次方程式、$x^2 + mx + 2m - 3 = 0$ と $x^2 + (m-1)x + 1 = 0$ について、前者が実数解をもち、後者が虚数解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの2次方程式、$x^2 + mx + 2m - 3 = 0$ と $x^2 + (m-1)x + 1 = 0$ について、前者が実数解をもち、後者が虚数解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1つ目の2次方程式 $x^2 + mx + 2m - 3 = 0$ が実数解をもつ条件を求めます。判別式を $D_1$ とすると、実数解を持つためには $D_1 \ge 0$ である必要があります。

$D_1 = m^2 - 4(2m - 3) = m^2 - 8m + 12 \ge 0$

$(m - 2)(m - 6) \ge 0$

したがって、$m \le 2$ または $m \ge 6$ が得られます。

(2) 2つ目の2次方程式 $x^2 + (m-1)x + 1 = 0$ が虚数解をもつ条件を求めます。判別式を $D_2$ とすると、虚数解を持つためには $D_2 < 0$ である必要があります。

$D_2 = (m-1)^2 - 4(1) = m^2 - 2m + 1 - 4 = m^2 - 2m - 3 < 0$

$(m - 3)(m + 1) < 0$

したがって、$-1 < m < 3$ が得られます。

(3) (1)と(2)の両方を満たす $m$ の範囲を求めます。

$m \le 2$ または $m \ge 6$ かつ $-1 < m < 3$ を満たす $m$ の範囲は、 $-1 < m \le 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < m \le 2$