公比が正の等比数列$\{a_n\}$があり、$a_1=2$, $a_6=8$を満たしている。また、等差数列$\{b_n\}$があり、$b_3=25$, $b_5+b_6=40$を満たしている。数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。 (1) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ。 (2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表せ。また、$S_n$を最大にする自然数$n$を$M$とする。$M$, $S_M$の値をそれぞれ求めよ。 (3) $a_n > 2025$を満たす最小の自然数$n$を$N$とする。$N$の値を求めよ。また、このとき、$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}}$を求めよ。

1. 問題の内容

公比が正の等比数列$\{a_n\}$があり、$a_1=2$, $a_6=8$を満たしている。また、等差数列$\{b_n\}$があり、$b_3=25$, $b_5+b_6=40$を満たしている。数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ。

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表せ。また、$S_n$を最大にする自然数$n$を$M$とする。$M$, $S_M$の値をそれぞれ求めよ。

(3) $a_n > 2025$を満たす最小の自然数$n$を$N$とする。$N$の値を求めよ。また、このとき、$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}}$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列$\{a_n\}$について、$a_1=2$，$a_6=8$であるから、

$a_n = a_1 r^{n-1} = 2r^{n-1}$と表せる。

$a_6 = 2r^5 = 8$より、$r^5 = 4$。

したがって、$r = 4^{1/5} = (2^2)^{1/5} = 2^{2/5}$。

よって、$a_n = 2 (2^{2/5})^{n-1} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{5}(n-1)} = 2^{1+\frac{2}{5}(n-1)} = 2^{\frac{2n+3}{5}}$。

(2) 等差数列$\{b_n\}$について、$b_3=25$, $b_5+b_6=40$であるから、

$b_n = b_1 + (n-1)d$と表せる。

$b_3 = b_1 + 2d = 25$。

$b_5+b_6 = (b_1+4d) + (b_1+5d) = 2b_1+9d = 40$。

2つの式を連立して解く。

$2(b_1+2d) = 50$より、$2b_1+4d = 50$。

$(2b_1+9d)-(2b_1+4d) = 40-50$より、$5d = -10$, よって$d=-2$。

$b_1+2(-2)=25$より、$b_1 = 29$。

したがって、$b_n = 29 + (n-1)(-2) = 29 - 2n + 2 = 31-2n$。

$S_n = \frac{n}{2}(b_1+b_n) = \frac{n}{2}(29+31-2n) = \frac{n}{2}(60-2n) = n(30-n) = -n^2+30n$。

$S_n = -(n^2 - 30n) = -(n^2-30n+225) + 225 = -(n-15)^2 + 225$。

したがって、$S_n$を最大にする$n$は$M=15$であり、$S_M = 225$。

(3) $a_n > 2025$となる最小の自然数$n$を$N$とする。

$2^{\frac{2n+3}{5}} > 2025$。

両辺の底を2とする対数を取ると、$\frac{2n+3}{5} > \log_2 2025$。

$\log_2 2048 = \log_2 2^{11} = 11$なので、$\log_2 2025$は11より少し小さい。

$\frac{2n+3}{5} > 10.9$と仮定すると、$2n+3 > 54.5$より、$2n > 51.5$, $n > 25.75$。

$a_{26} = 2^{\frac{2(26)+3}{5}} = 2^{\frac{55}{5}} = 2^{11} = 2048 > 2025$。

$a_{25} = 2^{\frac{2(25)+3}{5}} = 2^{\frac{53}{5}} = 2^{10.6} < 2^{11} = 2048$。

したがって、$N=26$。

$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^{26} \frac{1}{(31-2k)(31-2(k+1))} = \sum_{k=1}^{26} \frac{1}{(31-2k)(29-2k)}$

$= \sum_{k=1}^{26} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{29-2k} - \frac{1}{31-2k} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{26} \left( \frac{1}{29-2k} - \frac{1}{31-2k} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{27} - \frac{1}{29} \right) + \left( \frac{1}{25} - \frac{1}{27} \right) + \dots + \left( \frac{1}{29-2(26)} - \frac{1}{31-2(26)} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{27} - \frac{1}{29} \right) + \left( \frac{1}{25} - \frac{1}{27} \right) + \dots + \left( \frac{1}{-23} - \frac{1}{-21} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{27} + \frac{1}{25} + \frac{1}{23} + \dots + \frac{1}{1} + \frac{1}{-1} + \dots + \frac{1}{-21} + \frac{1}{-23} \right)$

$=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{27} - \frac{1}{29} \right) + \cdots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{29-52}-\frac{1}{31-52}\right) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{26} (\frac{1}{31-2k-2}-\frac{1}{31-2k}) =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-2)}\sum_{k=1}^{26}( \frac{-2}{(29-2k)(31-2k)})$

より一般的な方法：$\frac{1}{(31-2k)(29-2k)}=\frac{A}{31-2k}+\frac{B}{29-2k}$と部分分数分解する

$\frac{1}{31-2k} + \frac{1}{29-2k}= \frac{1}{2}(\frac{1}{29-2k}-\frac{1}{31-2k}) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{b_{k+1}} - \frac{1}{b_{k}} \right)$.

$S=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{26} (\frac{1}{b_{k+1}} - \frac{1}{b_{k}}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{b_{27}}-\frac{1}{b_1})$

$b_{27} = 31-2(27) = 31-54=-23$

$S = \frac{1}{2}(\frac{1}{-23}-\frac{1}{29}) = \frac{1}{2}(\frac{-29-23}{(23)(29)}) = \frac{1}{2}(\frac{-52}{(23)(29)}) = \frac{-26}{(23)(29)} = \frac{-26}{667}$

$\frac{1}{b_k b_{k+1}}=\frac{1}{(31-2k)(29-2k)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{29-2k}-\frac{1}{31-2k}\right)$

$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{1}{29-2k}-\frac{1}{31-2k}\right)= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{26}\left(\frac{1}{29-2k}-\frac{1}{31-2k}\right) = \frac{1}{2}(\frac{1}{27}+\frac{1}{25}+\frac{1}{23}+...+\frac{1}{-23}-\frac{1}{-21})$

しかし$\sum_{k=1}^N = \frac{1}{b_N b_{N+1}}$.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{\frac{2n+3}{5}}$

(2) $M = 15$, $S_M = 225$

(3) $N = 26$, $\sum_{k=1}^{26} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = -\frac{26}{667}$