与えられた2次不等式を解き、空欄を埋める問題です。具体的には、(1) $x^2 + 8x + 16 > 0$, (2) $x^2 - 6x + 9 \ge 0$, (3) $x^2 + 10x + 25 \le 0$, (4) $x^2 - 16x + 64 < 0$, (5) $x^2 - 3x + 4 > 0$, (6) $x^2 + 4x + 6 < 0$ のそれぞれの不等式を解き、指定された空欄を埋めます。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式を解き、空欄を埋める問題です。具体的には、(1) $x^2 + 8x + 16 > 0$, (2) $x^2 - 6x + 9 \ge 0$, (3) $x^2 + 10x + 25 \le 0$, (4) $x^2 - 16x + 64 < 0$, (5) $x^2 - 3x + 4 > 0$, (6) $x^2 + 4x + 6 < 0$ のそれぞれの不等式を解き、指定された空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + 8x + 16 = 0$ を解くと、$(x+4)^2 = 0$ となり、$x = -4$ です。

$x^2 + 8x + 16 > 0$ は $(x+4)^2 > 0$ と同値なので、$x \ne -4$ が解となります。

ア：4

イ：-4

ウ：$x \ne -4$

(2)

$x^2 - 6x + 9 = 0$ を解くと、$(x-3)^2 = 0$ となり、$x = 3$ です。

$x^2 - 6x + 9 \ge 0$ は $(x-3)^2 \ge 0$ と同値なので、全ての実数が解となります。

エ：3

オ：3

カ：全ての実数

(3)

$x^2 + 10x + 25 = 0$ を解くと、$(x+5)^2 = 0$ となり、$x = -5$ です。

$x^2 + 10x + 25 \le 0$ は $(x+5)^2 \le 0$ と同値なので、$x = -5$ が解となります。

キ：5

ク：-5

ケ：$x = -5$

(4)

$x^2 - 16x + 64 = 0$ を解くと、$(x-8)^2 = 0$ となり、$x = 8$ です。

$x^2 - 16x + 64 < 0$ は $(x-8)^2 < 0$ と同値ですが、実数の2乗は常に0以上なので、解は存在しません。

コ：8

サ：8

シ：解なし

(5)

$x^2 - 3x + 4 = 0$ を解くと、解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{7}i}{2}$

判別式 $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$ なので、$x^2 - 3x + 4 > 0$ は常に成立し、全ての実数が解となります。

ス：3

セ：9

ソ：1

タ：7

ツ：全ての実数

(6)

$x^2 + 4x + 6 = 0$ を解くと、解の公式より、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -2 \pm \sqrt{2}i$

判別式 $D = 4^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8 < 0$ なので、$x^2 + 4x + 6 > 0$ は常に成立します。

$x^2+4x+6 < 0$ の解は存在しません。

チ：-4

ト：16

ナ：1

ヌ：解なし

3. 最終的な答え

(1) ア：4, イ：-4, ウ：$x \ne -4$

(2) エ：3, オ：3, カ：全ての実数

(3) キ：5, ク：-5, ケ：$x = -5$

(4) コ：8, サ：8, シ：解なし

(5) ス：3, セ：9, ソ：1, タ：7, ツ：全ての実数

(6) チ：-4, ト：16, ナ：1, ヌ：解なし