与えられた数列の和 $\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号の性質を利用して、それぞれの項に分解します。

$\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1) = \sum_{i=1}^{n} i^2 + 3 \sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 1$

次に、各項の公式を利用して計算します。

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を元の式に代入します。

$\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

通分して整理します。

$\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{9n(n+1)}{6} + \frac{6n}{6}$

$= \frac{n}{6} [ (n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 6 ]$

$= \frac{n}{6} [ 2n^2 + n + 2n + 1 + 9n + 9 + 6 ]$

$= \frac{n}{6} [ 2n^2 + 12n + 16 ]$

$= \frac{n}{6} [ 2(n^2 + 6n + 8) ]$

$= \frac{n}{3} (n^2 + 6n + 8)$

$= \frac{n}{3} (n+2)(n+4)$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+2)(n+4)}{3}$