与えられた式 $a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2$ を因数分解し、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2$ を因数分解し、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず項を整理します。

$a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2 = a^2(b+2c) - c^2(b+2c)$

ここで、$b+2c$ が共通因数であることに気づきます。

したがって、

$a^2(b+2c) - c^2(b+2c) = (a^2 - c^2)(b+2c)$

さらに、$a^2 - c^2$ は差の二乗の形をしているので、$a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$ と因数分解できます。

よって、

$(a^2 - c^2)(b+2c) = (a-c)(a+c)(b+2c) = (a+c)(a-c)(b+2c)$

選択肢と比較すると、求める形と一致するものはありません。

別の解き方として、選択肢を展開して与えられた式になるかを確かめる方法があります。

ア: $(a+c)(ab+bc-2ac) = a^2b + abc - 2a^2c + abc + bc^2 - 2ac^2 = a^2b - 2a^2c + 2abc + bc^2 - 2ac^2$

イ: $(a+2c)(ab+bc+ac) = a^2b + abc + a^2c + 2abc + 2bc^2 + 2ac^2 = a^2b + a^2c + 3abc + 2bc^2 + 2ac^2$

ウ: $(a-c)(ab+bc+2ac) = a^2b + abc + 2a^2c - abc - bc^2 - 2ac^2 = a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2$

エ: $(a-2c)(ab+bc+ac) = a^2b + abc + a^2c - 2abc - 2bc^2 - 2ac^2 = a^2b + a^2c - abc - 2bc^2 - 2ac^2$

ウの選択肢を展開した結果が与えられた式 $a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2$ と一致します。

3. 最終的な答え

ウ