問題は、$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を展開します。

$$$$

\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k

$$$$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ を用いると、

$$$$

4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k = 4 \times \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 4 \times \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1)

$$$$

ここで$n(n+1)$でくくると、

$$$$

\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1 - 3) = \frac{2}{3}n(n+1)(2n-2) = \frac{4}{3}n(n+1)(n-1)

$$$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}n(n+1)(n-1)$