次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。 (1) $1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2, 2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2, 3^2 + 3 \cdot 4 + 4^2, \dots$ (2) $1^2, 1^2 + 3^2, 1^2 + 3^2 + 5^2, 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

(1) $1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2, 2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2, 3^2 + 3 \cdot 4 + 4^2, \dots$

(2) $1^2, 1^2 + 3^2, 1^2 + 3^2 + 5^2, 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = k^2 + k(k+1) + (k+1)^2 = k^2 + k^2 + k + k^2 + 2k + 1 = 3k^2 + 3k + 1$

求める和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (3k^2 + 3k + 1) = 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

したがって、

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) + 2n}{2} = \frac{n[(n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 2]}{2}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 2]}{2} = \frac{n(2n^2 + 6n + 6)}{2} = n(n^2 + 3n + 3)$

(2) 数列の一般項を $b_k$ とすると、

$b_k = \sum_{i=1}^k (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^k (4i^2 - 4i + 1) = 4 \sum_{i=1}^k i^2 - 4 \sum_{i=1}^k i + \sum_{i=1}^k 1$

$= 4 \cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} - 4 \cdot \frac{k(k+1)}{2} + k = \frac{2k(k+1)(2k+1)}{3} - 2k(k+1) + k$

$= \frac{2k(k+1)(2k+1) - 6k(k+1) + 3k}{3} = \frac{k[2(k+1)(2k+1) - 6(k+1) + 3]}{3}$

$= \frac{k[2(2k^2 + 3k + 1) - 6k - 6 + 3]}{3} = \frac{k[4k^2 + 6k + 2 - 6k - 3]}{3} = \frac{k(4k^2 - 1)}{3} = \frac{k(2k - 1)(2k + 1)}{3}$

求める和を $T_n$ とすると、

$T_n = \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(4k^2 - 1)}{3} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n (4k^3 - k) = \frac{1}{3} \left( 4 \sum_{k=1}^n k^3 - \sum_{k=1}^n k \right)$

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

$T_n = \frac{1}{3} \left( 4 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2} \right) = \frac{1}{3} \left( n^2(n+1)^2 - \frac{n(n+1)}{2} \right)$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{2n^2(n+1)^2 - n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n(n+1) - 1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n^2 + 3n + 3)$

(2) $\frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$