$\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$ が成り立つかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$ が成り立つかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

この不等式を証明するために、両辺に $\sqrt{7} + \sqrt{6}$ と $\sqrt{14} + \sqrt{13}$ をそれぞれ掛けてみます。すると、

$(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6}) > (\sqrt{14} - \sqrt{13})(\sqrt{14} + \sqrt{13})$

が成立すれば、もとの不等式も成立する可能性があります。ただし、 $\sqrt{7} + \sqrt{6}$ と $\sqrt{14} + \sqrt{13}$ が正の数である必要があり、両辺を割るときに大小関係が変わらないことを確認する必要があります。

$\sqrt{7} + \sqrt{6}$ と $\sqrt{14} + \sqrt{13}$ は正の数なので、不等号の向きは変わりません。

計算すると、

$7 - 6 > 14 - 13$

$1 > 1$

これは成立しません。

ここで、$\sqrt{7} + \sqrt{6}$ と $\sqrt{14} + \sqrt{13}$ の大小関係を調べます。

$(\sqrt{7} + \sqrt{6})^2 = 7 + 2\sqrt{42} + 6 = 13 + 2\sqrt{42}$

$(\sqrt{14} + \sqrt{13})^2 = 14 + 2\sqrt{182} + 13 = 27 + 2\sqrt{182}$

したがって、

$\sqrt{7} + \sqrt{6}$ と $\sqrt{14} + \sqrt{13}$ の大小関係を調べるには、

$13 + 2\sqrt{42}$ と $27 + 2\sqrt{182}$ の大小関係を調べれば良いです。

$13 + 2\sqrt{42} < 27 + 2\sqrt{182}$

$2\sqrt{42} < 14 + 2\sqrt{182}$

$\sqrt{42} < 7 + \sqrt{182}$

これは明らかに成立します。

元の不等式 $\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$ に ($\sqrt{7} + \sqrt{6}$)($\sqrt{14} + \sqrt{13}$)を掛けます。

すると、

$(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{14} + \sqrt{13}) > (\sqrt{14} - \sqrt{13})(\sqrt{14} + \sqrt{13})(\sqrt{7} + \sqrt{6})$

$(7-6)(\sqrt{14} + \sqrt{13}) > (14-13)(\sqrt{7} + \sqrt{6})$

$\sqrt{14} + \sqrt{13} > \sqrt{7} + \sqrt{6}$

$(\sqrt{14} + \sqrt{13})^2 > (\sqrt{7} + \sqrt{6})^2$

$14 + 2\sqrt{14 \cdot 13} + 13 > 7 + 2\sqrt{7 \cdot 6} + 6$

$27 + 2\sqrt{182} > 13 + 2\sqrt{42}$

$14 > 2(\sqrt{42} - \sqrt{182})$

$(\sqrt{7}-\sqrt{6}) > (\sqrt{14}-\sqrt{13})$

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} > \frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$

$\sqrt{14}+\sqrt{13} > \sqrt{7}+\sqrt{6}$

$(\sqrt{14}+\sqrt{13})^2 > (\sqrt{7}+\sqrt{6})^2$

$27+2\sqrt{182} > 13+2\sqrt{42}$

$14 > 2(\sqrt{42} - \sqrt{182})$

$(\sqrt{14} + \sqrt{13}) > (\sqrt{7} + \sqrt{6})$

$(\sqrt{14}-\sqrt{7})^2 > (\sqrt{6}-\sqrt{13})^2$

$14 - 2\sqrt{98} + 7 > 6 - 2\sqrt{78} + 13$

$21 - 2\sqrt{98} > 19 - 2\sqrt{78}$

$2 > 2\sqrt{98} - 2\sqrt{78}$

$1 > \sqrt{98} - \sqrt{78}$

$1 > 9.89 - 8.83$

$1 > 1.06$

$(\sqrt{14} + \sqrt{13}) > (\sqrt{7} + \sqrt{6})$が成立するので、$\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$ は成立しません。

3. 最終的な答え

$\sqrt{7} - \sqrt{6} > \sqrt{14} - \sqrt{13}$ は偽である。