与えられた6つの2次式を、複素数の範囲で因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次式を、複素数の範囲で因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 17x - 69$

因数分解を試みる。$(2x+a)(x+b) = 2x^2 + (a+2b)x + ab$ となる $a, b$ を探す。

$a+2b = -17$ かつ $ab = -69$ を満たす整数解を探すと、$a=6$, $b=-\frac{23}{2}$ となり整数ではない。

解の公式を使う。$ax^2 + bx + c = 0$ の解は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。

$2x^2 - 17x - 69 = 0$ の解は、

$x = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-69)}}{2 \cdot 2} = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 552}}{4} = \frac{17 \pm \sqrt{841}}{4} = \frac{17 \pm 29}{4}$

$x_1 = \frac{17 + 29}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$

$x_2 = \frac{17 - 29}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

よって、$2x^2 - 17x - 69 = 2(x - \frac{23}{2})(x + 3) = (2x - 23)(x + 3)$

(2) $x^2 - 2x - 1$

解の公式を使う。$x^2 - 2x - 1 = 0$ の解は、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$x^2 - 2x - 1 = (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2})) = (x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$

(3) $x^2 - 2x + 2$

解の公式を使う。$x^2 - 2x + 2 = 0$ の解は、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

よって、$x^2 - 2x + 2 = (x - (1 + i))(x - (1 - i)) = (x - 1 - i)(x - 1 + i)$

(4) $x^2 + 4$

$x^2 + 4 = 0$ の解は、$x^2 = -4$ より、$x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

よって、$x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)$

(5) $2x^2 + 4x - 1$

解の公式を使う。$2x^2 + 4x - 1 = 0$ の解は、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$

よって、$2x^2 + 4x - 1 = 2(x - \frac{-2 + \sqrt{6}}{2})(x - \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}) = 2(x + 1 - \frac{\sqrt{6}}{2})(x + 1 + \frac{\sqrt{6}}{2})$

(6) $2x^2 - 3x + 2$

解の公式を使う。$2x^2 - 3x + 2 = 0$ の解は、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$

よって、$2x^2 - 3x + 2 = 2(x - \frac{3 + i\sqrt{7}}{4})(x - \frac{3 - i\sqrt{7}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 23)(x + 3)$

(2) $(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$

(3) $(x - 1 - i)(x - 1 + i)$

(4) $(x - 2i)(x + 2i)$

(5) $2(x + 1 - \frac{\sqrt{6}}{2})(x + 1 + \frac{\sqrt{6}}{2})$

(6) $2(x - \frac{3 + i\sqrt{7}}{4})(x - \frac{3 - i\sqrt{7}}{4})$