与えられた対数の値を求める問題です。具体的には、以下の対数の値を計算します。 (1) $\log_2 2^5$ (2) $\log_5 25$ (3) $\log_3 \frac{1}{27}$ (4) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}$ (5) $\log_{10} 0.1$ (6) $\log_{\frac{1}{3}} 3$ (7) $\log_2 \sqrt[3]{2}$ (8) $\log_{\sqrt{5}} 5$

1. 問題の内容

与えられた対数の値を求める問題です。具体的には、以下の対数の値を計算します。

(1) $\log_2 2^5$

(2) $\log_5 25$

(3) $\log_3 \frac{1}{27}$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}$

(5) $\log_{10} 0.1$

(6) $\log_{\frac{1}{3}} 3$

(7) $\log_2 \sqrt[3]{2}$

(8) $\log_{\sqrt{5}} 5$

2. 解き方の手順

各対数について、定義に基づいて計算します。対数の定義は、$y = \log_a x$ ならば $a^y = x$ です。

(1) $\log_2 2^5$

$2^5$ は $2$ を底とする指数で、$2$ を何乗すると $2^5$ になるかという問題なので、答えは $5$ です。

(2) $\log_5 25$

$25 = 5^2$ なので、$\log_5 25 = 2$ です。

(3) $\log_3 \frac{1}{27}$

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ なので、$\log_3 \frac{1}{27} = -3$ です。

(4) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}$

$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$ なので、$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4$ です。

(5) $\log_{10} 0.1$

$0.1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$ なので、$\log_{10} 0.1 = -1$ です。

(6) $\log_{\frac{1}{3}} 3$

$3 = (\frac{1}{3})^{-1}$ なので、$\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$ です。

(7) $\log_2 \sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$ なので、$\log_2 \sqrt[3]{2} = \frac{1}{3}$ です。

(8) $\log_{\sqrt{5}} 5$

$5 = (\sqrt{5})^2$ なので、$\log_{\sqrt{5}} 5 = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\log_2 2^5 = 5$

(2) $\log_5 25 = 2$

(3) $\log_3 \frac{1}{27} = -3$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4$

(5) $\log_{10} 0.1 = -1$

(6) $\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$

(7) $\log_2 \sqrt[3]{2} = \frac{1}{3}$

(8) $\log_{\sqrt{5}} 5 = 2$