不等式 $x^2 + y^2 \le 5$ を満たす $x$, $y$ に対して、$x+y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + y^2 \le 5$ を満たす $x$, $y$ に対して、$x+y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$x+y = k$ とおく。

このとき、$y = -x + k$ となる。

これを $x^2 + y^2 \le 5$ に代入すると、

$x^2 + (-x+k)^2 \le 5$

$x^2 + x^2 - 2kx + k^2 \le 5$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 5 \le 0$

この不等式が実数解を持つための条件は、対応する方程式 $2x^2 - 2kx + k^2 - 5 = 0$ の判別式 $D$ が $D \ge 0$ であること。

$D = (-2k)^2 - 4(2)(k^2 - 5) = 4k^2 - 8k^2 + 40 = -4k^2 + 40 \ge 0$

$4k^2 \le 40$

$k^2 \le 10$

$-\sqrt{10} \le k \le \sqrt{10}$

したがって、$x+y$ の最大値は $\sqrt{10}$、最小値は $-\sqrt{10}$ である。

$x+y = k$ は円 $x^2 + y^2 = 5$ と接するときに、$k$ は最大値または最小値を取る。

$x+y = k$ を変形すると $y = -x + k$ であるから、これは傾きが -1 の直線を表す。

この直線が円 $x^2 + y^2 = 5$ と接するのは、原点と直線 $x+y-k=0$ の距離が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しいときである。

したがって、

$\frac{|0+0-k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|-k|}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$

$|k| = \sqrt{10}$

$k = \pm \sqrt{10}$

したがって、$x+y$ の最大値は $\sqrt{10}$、最小値は $-\sqrt{10}$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{10}$

最小値: $-\sqrt{10}$