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$a+b+c=0$ のとき、$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$ を示す問題です。

代数学恒等式因数分解対称式
2025/3/10

1. 問題の内容

a+b+c=0a+b+c=0 のとき、(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0 を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、a+b+c=0a+b+c=0 という条件から、b+c=−ab+c = -a, c+a=−bc+a = -b, a+b=−ca+b = -c が導き出せます。
次に、与えられた式 (b+c)(c+a)(a+b)+abc(b+c)(c+a)(a+b)+abc に、上記の関係式を代入します。
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=(−a)(−b)(−c)+abc(b+c)(c+a)(a+b) + abc = (-a)(-b)(-c) + abc
=−abc+abc=0= -abc + abc = 0
したがって、(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0 が成り立ちます。

3. 最終的な答え

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