与えられた$n$次行列（$n \geq 2$）の階数を求める問題です。この行列は、対角成分が$x$で、その他の成分が$1$であるという特徴を持っています。

1. 問題の内容

与えられた$n$次行列（$n \geq 2$）の階数を求める問題です。この行列は、対角成分が$x$で、その他の成分が$1$であるという特徴を持っています。

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるために、基本変形を用いて行列を簡約化します。

ステップ1: 第1行を$-1$倍して、第2行から第$n$行に加える。これにより、第2行から第$n$行の第1列は0になります。

この操作により、行列は次の形になります。

$\begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1-x & x-1 & 0 & \cdots & 0 \\

1-x & 0 & x-1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1-x & 0 & 0 & \cdots & x-1

\end{pmatrix}$

ステップ2: 第1行に$\frac{1-x}{x}$を掛けたものを第2行から第$n$行に足します。(ただし$x \neq 0$)

$\begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & x-1 - \frac{1-x}{x} & - \frac{1-x}{x} & \cdots & - \frac{1-x}{x} \\

0 & - \frac{1-x}{x} & x-1 - \frac{1-x}{x} & \cdots & - \frac{1-x}{x} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & - \frac{1-x}{x} & - \frac{1-x}{x} & \cdots & x-1 - \frac{1-x}{x}

\end{pmatrix}$

簡略化します。

$x-1 - \frac{1-x}{x} = \frac{x(x-1)-(1-x)}{x} = \frac{x^2-x-1+x}{x} = \frac{x^2-1}{x}$

従って、行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & \frac{x^2-1}{x} & - \frac{1-x}{x} & \cdots & - \frac{1-x}{x} \\

0 & - \frac{1-x}{x} & \frac{x^2-1}{x} & \cdots & - \frac{1-x}{x} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & - \frac{1-x}{x} & - \frac{1-x}{x} & \cdots & \frac{x^2-1}{x}

\end{pmatrix}$

ステップ3: $x=1$の場合、ステップ1の行列は

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & 0

\end{pmatrix}$

となり、階数は1になります。

ステップ4: $x=-1$の場合、元の行列は

$\begin{pmatrix}

-1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & -1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & -1 & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & -1

\end{pmatrix}$

全ての行を足すと0になるので、行ベクトルは線形独立ではありません。行の和は0より、階数は$n-1$以下です。

最初の$n-1$行を足すと、$0$ベクトルにはならないので、階数は$n-1$となります。

ステップ5: $x \neq 1, -1$の場合、$\frac{x^2-1}{x} \neq 0$ですので、ステップ2の行列は簡約化可能です。

最後の$n-1$行を、$\frac{x^2-1}{x}$で割ります。

$\begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & 1 & \frac{x-1}{x^2-1} & \cdots & \frac{x-1}{x^2-1} \\

0 & \frac{x-1}{x^2-1} & 1 & \cdots & \frac{x-1}{x^2-1} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & \frac{x-1}{x^2-1} & \frac{x-1}{x^2-1} & \cdots & 1

\end{pmatrix}$

$\frac{x-1}{x^2-1} = \frac{1}{x+1}$ですので、

$\begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & 1 & \frac{1}{x+1} & \cdots & \frac{1}{x+1} \\

0 & \frac{1}{x+1} & 1 & \cdots & \frac{1}{x+1} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & \frac{1}{x+1} & \frac{1}{x+1} & \cdots & 1

\end{pmatrix}$

第2行から第$n$行を引き算していきます。

$\begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & 1 & \frac{1}{x+1} & \cdots & \frac{1}{x+1} \\

0 & 0 & 1-\frac{1}{x+1} & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & 1-\frac{1}{x+1}

\end{pmatrix}$

簡略化します。$1-\frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$

$\begin{pmatrix}

x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

0 & 1 & \frac{1}{x+1} & \cdots & \frac{1}{x+1} \\

0 & 0 & \frac{x}{x+1} & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{x}{x+1}

\end{pmatrix}$

$x \neq 0$である限り、階数は$n$です。

ステップ6: $x=0$の場合、元の行列は

$\begin{pmatrix}

0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\

1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

1 & 1 & 1 & \cdots & 0

\end{pmatrix}$

この行列の階数は$n$です。

3. 最終的な答え

- $x=1$のとき、階数は1です。

- $x=-1$のとき、階数は$n-1$です。

- 上記以外の場合、階数は$n$です。