放物線 $y = x^2 - ax + a^2 - 3a$ が $x$ 軸と異なる2つの共有点を持つときの定数 $a$ の値の範囲と、その2つの共有点の $x$ 座標がともに正であるときの $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - ax + a^2 - 3a$ が $x$ 軸と異なる2つの共有点を持つときの定数 $a$ の値の範囲と、その2つの共有点の $x$ 座標がともに正であるときの $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - ax + a^2 - 3a$ が $x$ 軸と異なる2つの共有点を持つ条件を考えます。これは、判別式 $D$ が正であることと同値です。判別式 $D$ は、

$D = (-a)^2 - 4(1)(a^2 - 3a) = a^2 - 4a^2 + 12a = -3a^2 + 12a$

$D > 0$ であることから、$-3a^2 + 12a > 0$。

$-3a(a - 4) > 0$

$a(a - 4) < 0$

よって、$0 < a < 4$ が得られます。

次に、2つの共有点の $x$ 座標がともに正である条件を考えます。

$f(x) = x^2 - ax + a^2 - 3a$ とおきます。

2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ であることが必要です。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = a > 0$

$\alpha \beta = a^2 - 3a > 0$

$a(a - 3) > 0$

$a < 0$ または $a > 3$

また、$f(0) = a^2 - 3a > 0$も必要です。これは上に示した $a(a - 3) > 0$ と同値です。

以上の条件、$0 < a < 4$, $a > 3$ を満たす $a$ の範囲を考えると、$3 < a < 4$ となります。

3. 最終的な答え

放物線 $y = x^2 - ax + a^2 - 3a$ が $x$ 軸と異なる2つの共有点をもつときの $a$ の範囲は $0 < a < 4$ です。

また、その2つの共有点の $x$ 座標がともに正であるときの $a$ の範囲は $3 < a < 4$ です。