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行列 $A$, $B$, $C$, $D$ が与えられています。 $A = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \\ 0 & -6 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ 以下の式のうち計算可能なものを計算します。 (i) $D^2 + BC$, (ii) $CD + D^tB$, (iii) $CBA + A$, (iv) $^tA(^tB+C)B$.

代数学行列行列の計算行列の積行列の和転置行列
2025/7/27

1. 問題の内容

行列 AA, BB, CC, DD が与えられています。
A=[20−1]A = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, B=[0−310−212−21]B = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix}, C=[3−1−110−6]C = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \\ 0 & -6 \end{bmatrix}, D=[1001−12−1−11]D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}
以下の式のうち計算可能なものを計算します。
(i) D2+BCD^2 + BC, (ii) CD+DtBCD + D^tB, (iii) CBA+ACBA + A, (iv) tA(tB+C)B^tA(^tB+C)B.

2. 解き方の手順

(i) D2+BCD^2 + BC
まず、D2D^2を計算します。
D2=[1001−12−1−11][1001−12−1−11]=[100−2−10−30−1]D^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \end{bmatrix}
次に、BCBCを計算します。
BC=[0−310−212−21][3−1−110−6]=[3−92−88−10]BC = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \\ 0 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -9 \\ 2 & -8 \\ 8 & -10 \end{bmatrix}
D2+BC=[100−2−10−30−1]+[3−92−88−10]=[4−90−95−10−1]=[4−90−95−11]D^2 + BC = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -9 \\ 2 & -8 \\ 8 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 0 & -9 \\ 5 & -10-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 0 & -9 \\ 5 & -11 \end{bmatrix}
(ii) CD+DtBCD + D^tB
まず、CDCDを計算します。
CD=[3−1−110−6][1001−12−1−11]CD = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \\ 0 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}. これは計算できません。行列CCが3×23 \times 2, 行列DDが3×33 \times 3であり、行列の積の定義から、列と行の数が一致する必要があるため、CDCDは計算できません。
(iii) CBA+ACBA + A
まず、BABAを計算します。
BA=[0−310−212−21][20−1]=[−1−13]BA = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}
次に、CBACBAを計算します。
CBA=[3−1−110−6][−1−13]CBA = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \\ 0 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}. これは計算できません。行列CCが3×23 \times 2, 行列BABAが3×13 \times 1であり、行列の積の定義から、列と行の数が一致する必要があるため、CBACBAは計算できません。
(iv) tA(tB+C)B^tA(^tB+C)B
まず、tB^tBを計算します。
tB=[002−3−2−2111]^tB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}
次に、tB+C^tB + Cを計算します。
tB+C=[002−3−2−2111]+[3−1−110−6]^tB + C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \\ 0 & -6 \end{bmatrix}. これは計算できません。行列のサイズが一致しないため。

3. 最終的な答え

(i) [4−90−95−11]\begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 0 & -9 \\ 5 & -11 \end{bmatrix}
(ii) 計算不能
(iii) 計算不能
(iv) 計算不能

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