数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ を求めよ。ただし、$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1}$, $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ などが成り立つことを利用する。

1. 問題の内容

数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ を求めよ。ただし、$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1}$, $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ などが成り立つことを利用する。

2. 解き方の手順

与えられた関係から、$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ が成り立つと予想できる。

この関係を使って、与えられた数列の和を書き換える。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

これは、差の形になっているので、和を計算すると多くの項が打ち消し合う（telescoping sum）。具体的には、

$(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

この和を計算すると、$-\sqrt{1} = -1$ 以外の負の項と、$\sqrt{n+1}$以外の正の項が打ち消し合う。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+1} - 1$