関数 $f(x, y) = \exp(6x^2 - 2xy)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 全微分 $df(1, 3)$ を求めます。 (2) 点 $(1, 3)$ における $f$ の1次近似を求めます。 (3) 点 $(1, 3, f(1, 3))$ における $z = f(x, y)$ の接平面の方程式を求めます。

## HW 12.1

1. **問題の内容**

関数 $f(x, y) = \exp(6x^2 - 2xy)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 全微分 $df(1, 3)$ を求めます。

(2) 点 $(1, 3)$ における $f$ の1次近似を求めます。

(3) 点 $(1, 3, f(1, 3))$ における $z = f(x, y)$ の接平面の方程式を求めます。

2. **解き方の手順**

(1) 全微分 $df$ は次のように計算されます。

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \exp(6x^2 - 2xy) (12x - 2y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \exp(6x^2 - 2xy) (-2x)$

点 $(1, 3)$ における偏微分の値を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) = \exp(6(1)^2 - 2(1)(3)) (12(1) - 2(3)) = e^0 (12 - 6) = 6$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) = \exp(6(1)^2 - 2(1)(3)) (-2(1)) = e^0 (-2) = -2$

したがって、

$df(1, 3) = 6dx - 2dy$

(2) 点 $(1, 3)$ における $f$ の1次近似は次のように計算されます。

$L(x, y) = f(1, 3) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) (x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) (y - 3)$

$f(1, 3) = \exp(6(1)^2 - 2(1)(3)) = e^0 = 1$

よって、

$L(x, y) = 1 + 6(x - 1) - 2(y - 3) = 1 + 6x - 6 - 2y + 6 = 6x - 2y + 1$

(3) 点 $(1, 3, f(1, 3))$ における $z = f(x, y)$ の接平面の方程式は次のように計算されます。

$z - f(1, 3) = \frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) (x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) (y - 3)$

$z - 1 = 6(x - 1) - 2(y - 3)$

$z = 1 + 6x - 6 - 2y + 6 = 6x - 2y + 1$

3. **最終的な答え**

(1) $df(1, 3) = 6dx - 2dy$

(2) $L(x, y) = 6x - 2y + 1$

(3) $z = 6x - 2y + 1$

## HW 12.2

1. **問題の内容**

関数 $f(x, y) = x^3 - 2y^3 + x^2 + y^2$ および $g(t) = f(\cos t, \sin t)$ について、微分係数 $g'(\frac{\pi}{4})$ の値を求めます。

2. **解き方の手順**

合成関数の微分公式を用いて、$g'(t)$ を求めます。

$g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) \frac{d}{dt}(\cos t) + \frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) \frac{d}{dt}(\sin t)$

偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -6y^2 + 2y$

微分を計算します。

$\frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t$

$\frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$

したがって、

$g'(t) = (3\cos^2 t + 2\cos t)(-\sin t) + (-6\sin^2 t + 2\sin t)(\cos t)$

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$g'(\frac{\pi}{4}) = (3(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2(\frac{\sqrt{2}}{2}))(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-6(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2(\frac{\sqrt{2}}{2}))(\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= (3(\frac{1}{2}) + \sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-6(\frac{1}{2}) + \sqrt{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= (\frac{3}{2} + \sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-3 + \sqrt{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= -\frac{3\sqrt{2}}{4} - 1 - \frac{3\sqrt{2}}{2} + 1$

$= -\frac{9\sqrt{2}}{4}$

3. **最終的な答え**

$g'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{9\sqrt{2}}{4}$