定積分 $\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \{(1+x)\sin x + (1-x)\cos x\} dx$ を計算します。

## 問題9 の解答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \{(1+x)\sin x + (1-x)\cos x\} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分けます。

$\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (1+x)\sin x dx + \int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (1-x)\cos x dx$

それぞれの積分を部分積分で計算します。

一つ目の積分 $\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (1+x)\sin x dx$ について、

$u = 1+x$, $dv = \sin x dx$ とすると、

$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (1+x)\sin x dx = [-(1+x)\cos x]_{0}^{\frac{3}{4}\pi} - \int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (-\cos x) dx$

$= [-(1+x)\cos x]_{0}^{\frac{3}{4}\pi} + [\sin x]_{0}^{\frac{3}{4}\pi}$

$= -(1+\frac{3}{4}\pi)\cos(\frac{3}{4}\pi) + (1+0)\cos(0) + \sin(\frac{3}{4}\pi) - \sin(0)$

$= -(1+\frac{3}{4}\pi)(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 0$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \sqrt{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} + 1$

次に、二つ目の積分 $\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (1-x)\cos x dx$ について、

$u = 1-x$, $dv = \cos x dx$ とすると、

$du = -dx$, $v = \sin x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (1-x)\cos x dx = [(1-x)\sin x]_{0}^{\frac{3}{4}\pi} - \int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} (-\sin x) dx$

$= [(1-x)\sin x]_{0}^{\frac{3}{4}\pi} + \int_{0}^{\frac{3}{4}\pi} \sin x dx$

$= [(1-x)\sin x]_{0}^{\frac{3}{4}\pi} + [-\cos x]_{0}^{\frac{3}{4}\pi}$

$= (1-\frac{3}{4}\pi)\sin(\frac{3}{4}\pi) - (1-0)\sin(0) - \cos(\frac{3}{4}\pi) + \cos(0)$

$= (1-\frac{3}{4}\pi)\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

$= \sqrt{2} - \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} + 1$

したがって、元の積分は、

$(\sqrt{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} + 1) + (\sqrt{2} - \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} + 1) = 2\sqrt{2} + 2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} + 2$