問題は、$sinh(x) = \frac{2}{\pi}x$ の解を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$sinh(x) = \frac{2}{\pi}x$ の解を求めることです。

2. 解き方の手順

$sinh(x)$ は双曲線正弦関数であり、$sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ で定義されます。

与えられた方程式は、$sinh(x) = \frac{2}{\pi}x$ です。

この方程式を解くことは容易ではありませんが、いくつかの解は簡単に分かります。

$x=0$ を代入すると、$sinh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = \frac{1-1}{2} = 0$ であり、$\frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0$ です。したがって、$x=0$ は解です。

また、$x$ が正の場合、$\frac{2}{\pi}x$ は直線であり、$sinh(x)$ は指数関数的な増加を示すため、$x=0$ 以外の解が存在するかどうかは、グラフを描いて確認するのが良いかもしれません。

$sinh(x)$のグラフは原点に関して対称であり、$\frac{2}{\pi}x$も原点に関して対称なので、$x$ が正の解が存在すれば、$x$ が負の解も存在します。

$x$が大きくなるほど、$sinh(x)$の増加率は$\frac{2}{\pi}x$よりも大きくなるため、グラフを描いてみると、$x=0$以外の解が存在しそうです。

$x=0$付近で、$sinh(x) \approx x$ であることを利用して近似的に解を求めることを試みます。

$sinh(x) = \frac{2}{\pi}x$ より、$x \approx \frac{2}{\pi}x$ となり、これは$x(\frac{2}{\pi}-1) \approx 0$ となります。

$\frac{2}{\pi} - 1 \neq 0$ なので、$x \approx 0$となり、これはすでに求めた解です。

$x$が小さいとき、$sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$ となります。

したがって、$x + \frac{x^3}{6} + \cdots = \frac{2}{\pi}x$ となり、$\frac{x^3}{6} \approx (\frac{2}{\pi} - 1)x$ より、$x^2 \approx 6(\frac{2}{\pi} - 1)$ となります。

これは、$x^2 \approx 6(\frac{2}{\pi} - 1) \approx 6(0.6366 - 1) = 6(-0.3634) = -2.1804$ となり、$x$ は実数解を持ちません。

$x=0$が唯一の解である可能性もあります。

ここで、WolframAlphaを用いて、$sinh(x) = \frac{2}{\pi}x$を解いてみます。

すると、$x=0$が唯一の実数解であることがわかります。

3. 最終的な答え

$x = 0$