与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (3x - 4)(x^2 + x + 1)$ (2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$ (3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ (4) $y = (\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} - 1)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (3x - 4)(x^2 + x + 1)$

(2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$

(3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x}$

(4) $y = (\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} - 1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = (3x - 4)(x^2 + x + 1)$

積の微分法$(uv)' = u'v + uv'$を用いるか、展開してから微分します。展開してから微分する方が楽でしょう。

$y = 3x^3 + 3x^2 + 3x - 4x^2 - 4x - 4 = 3x^3 - x^2 - x - 4$

$\frac{dy}{dx} = 9x^2 - 2x - 1$

(2) $y = (x^2 - 2)(x^3 + x)$

これも展開してから微分します。

$y = x^5 + x^3 - 2x^3 - 2x = x^5 - x^3 - 2x$

$\frac{dy}{dx} = 5x^4 - 3x^2 - 2$

(3) $y = (x^2 + 1)\sqrt{x} = (x^2 + 1)x^{1/2}$

$y = x^{5/2} + x^{1/2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{5}{2}x\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2 + 1}{2\sqrt{x}}$

(4) $y = (\sqrt{x} + 1)(2\sqrt{x} - 1)$

展開してから微分します。

$y = 2x - \sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 1 = 2x + \sqrt{x} - 1 = 2x + x^{1/2} - 1$

$\frac{dy}{dx} = 2 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{4\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 9x^2 - 2x - 1$

(2) $\frac{dy}{dx} = 5x^4 - 3x^2 - 2$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{5x^2 + 1}{2\sqrt{x}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{4\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}}$