与えられた定積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt$

2. 解き方の手順

$\frac{1}{1+t^2}$ の不定積分は $\arctan(t)$ であることを利用します。

定積分の計算は、不定積分を求めて、積分区間の上限と下限の値を代入し、その差を計算することで行います。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt = [\arctan(t)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0)$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(0) = 0$ です。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$