次の2つの問題について、指定された図形をx軸の周りに回転させたときにできる回転体の体積$V$を求めます。 (1) $y = x^2$ と $y = 3x$ で囲まれた図形 (2) $x = -y^2 + 6y - 8$ と $y$軸で囲まれた図形

1. 問題の内容

次の2つの問題について、指定された図形をx軸の周りに回転させたときにできる回転体の体積$V$を求めます。

(1) $y = x^2$ と $y = 3x$ で囲まれた図形

(2) $x = -y^2 + 6y - 8$ と $y$軸で囲まれた図形

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2$ と $y = 3x$ の交点を求めます。

$x^2 = 3x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

交点のx座標は $x = 0$ と $x = 3$ です。

$0 \leq x \leq 3$ の範囲で、$y = 3x$ が $y = x^2$ より上にあるので、回転体の体積$V$は次の積分で計算できます。

$V = \pi \int_0^3 ((3x)^2 - (x^2)^2) dx$

$V = \pi \int_0^3 (9x^2 - x^4) dx$

$V = \pi [3x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^3$

$V = \pi (3(3^3) - \frac{1}{5}(3^5))$

$V = \pi (81 - \frac{243}{5})$

$V = \pi (\frac{405 - 243}{5})$

$V = \frac{162\pi}{5}$

(2)

$x = -y^2 + 6y - 8$ と $y$軸の交点を求めます。$y$軸上では $x=0$ なので、

$-y^2 + 6y - 8 = 0$

$y^2 - 6y + 8 = 0$

$(y - 2)(y - 4) = 0$

$y = 2, 4$

したがって、$y$軸と交わる点は $y=2$ と $y=4$ です。

$x = -y^2 + 6y - 8$ は $x = -(y^2 - 6y + 9) + 9 - 8 = -(y-3)^2 + 1$ と変形できるので、$2 \leq y \leq 4$ の範囲で、$x$ は正の値を取ります。

回転体の体積$V$は次の積分で計算できます。

$V = \pi \int_2^4 (-y^2 + 6y - 8)^2 dy$

$V = \pi \int_2^4 (y^4 - 12y^3 + 52y^2 - 96y + 64) dy$

$V = \pi [\frac{1}{5}y^5 - 3y^4 + \frac{52}{3}y^3 - 48y^2 + 64y]_2^4$

$V = \pi [(\frac{1024}{5} - 768 + \frac{3328}{3} - 768 + 256) - (\frac{32}{5} - 48 + \frac{416}{3} - 192 + 128)]$

$V = \pi [(\frac{1024}{5} - 1280 + \frac{3328}{3} + 256) - (\frac{32}{5} - 240 + \frac{416}{3} + 128 - 192)]$

$V = \pi [\frac{1024}{5} - 1024 + \frac{3328}{3} - (\frac{32}{5} - 112 + \frac{416}{3})]$

$V = \pi [\frac{992}{5} - 912 + \frac{2912}{3}]$

$V = \pi [\frac{2976 - 13680 + 14560}{15}]$

$V = \pi [\frac{3856}{15}]$

$V = \frac{16}{15}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{162\pi}{5}$

(2) $\frac{16\pi}{15}$