次の関数の導関数を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{2a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|$ , ($a \neq 0$) (2) $y = \log \left|\frac{x^2-1}{x^2+1}\right|$ (3) $y = \log (x^2 \sqrt{x^2-4})$ (4) $y = \log \sqrt{(x+2)(x+3)}$ (5) $y = (xe^x + e^{-x})^4$ (6) $y = \log |\log x|$

はい、承知いたしました。画像にある6つの関数の導関数を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{2a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|$ , ($a \neq 0$)

(2) $y = \log \left|\frac{x^2-1}{x^2+1}\right|$

(3) $y = \log (x^2 \sqrt{x^2-4})$

(4) $y = \log \sqrt{(x+2)(x+3)}$

(5) $y = (xe^x + e^{-x})^4$

(6) $y = \log |\log x|$

2. 解き方の手順

各問題について、導関数を求める手順を説明します。

対数の底は自然対数とします。すなわち、$\log x = \log_e x$ です。

(1) $y = \frac{1}{2a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2a} \frac{1}{\frac{x-a}{x+a}} \cdot \frac{(x+a) - (x-a)}{(x+a)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2a} \cdot \frac{x+a}{x-a} \cdot \frac{2a}{(x+a)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-a} \cdot \frac{1}{x+a} = \frac{1}{x^2-a^2}$

(2) $y = \log \left|\frac{x^2-1}{x^2+1}\right|$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{x^2-1}{x^2+1}} \cdot \frac{2x(x^2+1) - 2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \frac{2x^3+2x - 2x^3+2x}{(x^2+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \frac{4x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2-1)(x^2+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{x^4-1}$

(3) $y = \log (x^2 \sqrt{x^2-4})$

$y = \log(x^2) + \log(\sqrt{x^2-4}) = 2\log x + \frac{1}{2} \log(x^2-4)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2-4} \cdot 2x = \frac{2}{x} + \frac{x}{x^2-4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2-4) + x^2}{x(x^2-4)} = \frac{3x^2-8}{x(x^2-4)}$

(4) $y = \log \sqrt{(x+2)(x+3)}$

$y = \frac{1}{2} \log((x+2)(x+3)) = \frac{1}{2} \log(x^2+5x+6)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+5x+6} \cdot (2x+5) = \frac{2x+5}{2(x^2+5x+6)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x+5}{2(x+2)(x+3)}$

(5) $y = (xe^x + e^{-x})^4$

$\frac{dy}{dx} = 4(xe^x + e^{-x})^3 \cdot (e^x + xe^x - e^{-x})$

$\frac{dy}{dx} = 4(xe^x + e^{-x})^3 (e^x(x+1) - e^{-x})$

(6) $y = \log |\log x|$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2-a^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{x^4-1}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2-8}{x(x^2-4)}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+5}{2(x+2)(x+3)}$

(5) $\frac{dy}{dx} = 4(xe^x + e^{-x})^3 (e^x(x+1) - e^{-x})$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x}$