問題は、 $0 \le x < 2\pi$ の範囲で、(1) $\cos 2x = \sin x$ と (2) $\cos 2x < \sin x$ を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、 $0 \le x < 2\pi$ の範囲で、(1) $\cos 2x = \sin x$ と (2) $\cos 2x < \sin x$ を解くことです。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2x = \sin x$ を解きます。

まず、$\cos 2x$ を $\sin x$ を用いて表します。$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、方程式は次のようになります。

$1 - 2\sin^2 x = \sin x$

これを整理すると、次の二次方程式を得ます。

$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

$(\sin x + 1)(2\sin x - 1) = 0$

したがって、$\sin x = -1$ または $\sin x = \frac{1}{2}$ となります。

$\sin x = -1$ のとき、$x = \frac{3\pi}{2}$ です。

$\sin x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

(2) $\cos 2x < \sin x$ を解きます。

$\cos 2x < \sin x$ は、$1 - 2\sin^2 x < \sin x$ と同値です。

$2\sin^2 x + \sin x - 1 > 0$

$(\sin x + 1)(2\sin x - 1) > 0$

$\sin x > \frac{1}{2}$ または $\sin x < -1$ となります。

$\sin x < -1$ となる $x$ は存在しません。$\sin x = -1$ の時は $(\sin x + 1)(2\sin x - 1)=0$ となるので不等式を満たしません。

$\sin x > \frac{1}{2}$ となる $x$ の範囲は、$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2x = \sin x$ の解は、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ です。

(2) $\cos 2x < \sin x$ の解は、$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ です。