以下の5つの問題を解きます。 (2) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)$ を計算する。 (3) $\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 2k)$ を計算する。 (4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を計算する。 (5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ を計算する。 (6) 数列 $2 \cdot 1, 5 \cdot 3, 8 \cdot 3^2, \dots, (3n-1) \cdot 3^{n-1}$ の和を求める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

以下の5つの問題を解きます。

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)$ を計算する。

(3) $\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 2k)$ を計算する。

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を計算する。

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ を計算する。

(6) 数列 $2 \cdot 1, 5 \cdot 3, 8 \cdot 3^2, \dots, (3n-1) \cdot 3^{n-1}$ の和を求める。

2. 解き方の手順

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)$

$\sum_{k=1}^{n} (k+1) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1) + 2n}{2} = \frac{n(n+3)}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 2k)$

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 2k) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) - n(n+1) = n(n+1)(2n+1-1) = n(n+1)(2n) = 2n^2(n+1)$

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}}{(\sqrt{k+3} + \sqrt{k+2})(\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}}{(k+3) - (k+2)} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}) = (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2}) = \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right] = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{3n+1} = \frac{n}{3n+1}$

(6) 数列 $2 \cdot 1, 5 \cdot 3, 8 \cdot 3^2, \dots, (3n-1) \cdot 3^{n-1}$ の和

$S = \sum_{k=1}^{n} (3k-1) \cdot 3^{k-1} = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 + 8 \cdot 3^2 + \dots + (3n-1) \cdot 3^{n-1}$

$3S = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3^3 + \dots + (3n-1) \cdot 3^{n}$

$S - 3S = 2 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + 3 \cdot 3^{n-1} - (3n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 3^k - (3n-1) \cdot 3^n = 2 + 3 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} - (3n-1) \cdot 3^n = 2 + \frac{9}{2} (3^{n-1} - 1) - (3n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 2 + \frac{3}{2} (3^n - 3) - (3n-1) 3^n = 2 + \frac{3}{2} 3^n - \frac{9}{2} - (3n-1) 3^n = (2 - \frac{9}{2}) + (\frac{3}{2} - (3n-1)) 3^n = -\frac{5}{2} + (\frac{5}{2} - 3n) 3^n$

$S = \frac{5}{4} + (3n - \frac{5}{2}) \cdot \frac{3^n}{2} = \frac{5}{4} + \frac{(6n-5) \cdot 3^n}{4}$

$S = \frac{(6n-5) 3^n + 5}{4}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{n(n+3)}{2}$

(3) $2n^2(n+1)$

(4) $\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

(5) $\frac{n}{3n+1}$

(6) $\frac{(6n-5) 3^n + 5}{4}$