与えられた4つの積分を計算する問題です。 (1) $\int (x^3 - 1)^4 x^2 dx$ (2) $\int \frac{e^x}{(e^x + 2)^3} dx$ (3) $\int \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$ (4) $\int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算する問題です。

(1) $\int (x^3 - 1)^4 x^2 dx$

(2) $\int \frac{e^x}{(e^x + 2)^3} dx$

(3) $\int \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$

(4) $\int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $u = x^3 - 1$ と置換します。すると、$du = 3x^2 dx$ となり、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ です。

したがって、

$\int (x^3 - 1)^4 x^2 dx = \int u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{15} (x^3 - 1)^5 + C$

(2) $u = e^x + 2$ と置換します。すると、$du = e^x dx$ です。

したがって、

$\int \frac{e^x}{(e^x + 2)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} du = \int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(e^x + 2)^2} + C$

(3) $u = \sin x + 1$ と置換します。すると、$du = \cos x dx$ です。

したがって、

$\int \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\sin x + 1| + C$

(4) $u = e^{-x} - 1$ と置換します。すると、$du = -e^{-x} dx$ となり、$e^{-x} dx = -du$ です。

したがって、

$\int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 1} dx = \int \frac{-1}{u} du = -\int \frac{1}{u} du = -\ln |u| + C = -\ln |e^{-x} - 1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{15} (x^3 - 1)^5 + C$

(2) $-\frac{1}{2(e^x + 2)^2} + C$

(3) $\ln |\sin x + 1| + C$

(4) $-\ln |e^{-x} - 1| + C$