与えられた定積分 $\int_0^2 \frac{x^2}{(4+x^2)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_0^2 \frac{x^2}{(4+x^2)^2} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = 2\tan{\theta}$ と置換します。すると、$dx = 2\sec^2{\theta} d\theta$となります。

積分範囲は、

$x=0$のとき、$\tan{\theta} = 0$より $\theta = 0$

$x=2$のとき、$\tan{\theta} = 1$より $\theta = \frac{\pi}{4}$

となります。

積分は

$\int_0^{\pi/4} \frac{(2\tan{\theta})^2}{(4 + (2\tan{\theta})^2)^2} 2\sec^2{\theta} d\theta = \int_0^{\pi/4} \frac{4\tan^2{\theta}}{(4 + 4\tan^2{\theta})^2} 2\sec^2{\theta} d\theta$

$= \int_0^{\pi/4} \frac{4\tan^2{\theta}}{16(1 + \tan^2{\theta})^2} 2\sec^2{\theta} d\theta = \int_0^{\pi/4} \frac{8\tan^2{\theta} \sec^2{\theta}}{16\sec^4{\theta}} d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \frac{\tan^2{\theta}}{\sec^2{\theta}} d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \sin^2{\theta} d\theta$

$\sin^2{\theta} = \frac{1 - \cos{2\theta}}{2}$ より、

$\frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \frac{1 - \cos{2\theta}}{2} d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/4} (1 - \cos{2\theta}) d\theta$

$= \frac{1}{4} [\theta - \frac{1}{2}\sin{2\theta}]_0^{\pi/4} = \frac{1}{4} [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin{\frac{\pi}{2}}) - (0 - \frac{1}{2}\sin{0})]$

$= \frac{1}{4} (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$